संख्याएं एवं संक्रियाएं

संख्याएं एवं संक्रियाएं

जिस पद्धति से संख्याओं को लिखा जाता है और उसका मान प्राप्त किया जाता है उसे संख्या पद्धति कहते है।

संख्याओ के प्रकार

संख्याए
संख्याएं एवं संक्रियाएं
प्राकृतिक संख्याए

ऐसी संख्याएँ जो वस्तुओं के गिनने के काम आती है उन्हें प्राकृतिक संख्या कहते हैं प्राकृतिक संख्या को N प्रकट करते हैं।

N = {1,2,3,4,5…………ꚙ}

पूर्ण संख्याए

यदि प्राकृतिक संख्या में 0 को शामिल कर लिया जाय तो जो संख्याएँ प्राप्त  होती  है वे संख्याएँ पूर्ण संख्याएँ होती है पूर्ण संख्या को W से प्रकट करते हैं।

W = {0,1,2,3,4,5……….ꚙ}

पूर्णांक संख्याएँ

प्राकृतिक संख्या, शुन्य, तथा ऋणात्मक संख्याओं के समुह को ही पूर्णांक संख्याएँ कहते है पूर्णांक संख्याओं को I अथवा Z से प्रकट करते हैं।

Z = {ꚙ…..….-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…………ꚙ}

सम संख्याएँ

ऐसी संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित हो जाती है और शेषफल 0 आये, उसे सम संख्याएँ कहते हैं। सम संख्याओं को E से प्रकट करते है।

E= {ꚙ…….-8,-6,-4,-2,2,4,6,8……….ꚙ}

विषम संख्याएँ

ऐसी संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित न हो, उसे विषम संख्याएँ कहते हैं। विषम संख्याओं को O से प्रकट करते है।

O= {ꚙ…….-7,-5,-3,-1,1,3,5,7……….ꚙ}

अभाज्य संख्याएँ

ऐसी संख्याएँ जो 1 और स्वयं के अलावा किसी दूसरी संख्या से विभाजित न हो, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं।                               

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

1 से 100 के मध्य अभाज्य संख्याए25
70 से 90 के मध्य अभाज्य संख्याए5
1 से 50 तक अभाज्य संख्याए15
सम अभाज्य संख्या कौन है?2
परिमेंय संख्याएँ

ऐसी संख्याएँ जो p/q के रुप में होती हैं जहाँ p और q पूर्णांक संख्याएँ  है  और q≠0 है इसका मतलब यह है कि q का मान 0 के बराबर नही होगा । परिमेय संख्याओं को Q से प्रकट करते है।

 जैसे- 5/7,8/9,4/7,0,7/9 इत्यादि

संख्याओ का योग

प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ का योग
संख्याएं एवं संक्रियाएं
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के वर्गों का योग
संख्याएं एवं संक्रियाएं
प्रथम n प्राकृतिक संख्याओ के घनो का योग
संख्याएं एवं संक्रियाएं
प्रथम n सम संख्याओ का योग
संख्याएं एवं संक्रियाएं
प्रथम n विषम संख्याओ का योग
संख्याएं एवं संक्रियाएं

विभाजिता के नियम

संख्याओ के विभाजिता के नियम
2 से विभाजिता का नियम

जिन संख्याओ के अंत में 0, 2, 4, 6, 8 आए वो संख्याए 2 से विभाजित हो जाएगी।

उदाहरण – 23456, 345678, 34567890 आदि

3 से विभाजिता का नियम

संख्या 3 से विभाजित होगी या नही ये पता करने के लिए सबसे पहले संख्या के अंको का योग करना है, यदि अंको का योग 3 से विभाजित हो जाए तो वह संख्या 3 से विभाजित हो जाएगी।

उदाहरण- 23451, 12345, 54321 आदि

5 से विभाजिता का नियम

संख्या 5 से विभाजित होगी या नही ये पता करने के लिए सबसे पहले संख्या के अंत में देखना है यदि 0 हो या 5 हो तो वो संख्या 5 से विभाजित हो जाएगी।

उदाहरण – 2345, 65430, 98765, 12375 आदि

7 से विभाजिता का नियम

संख्या के इकाई अंक का दो गुना पूरी संख्या से घटा देने से प्राप्त संख्या यदि 7 से विभाज्य है तो संख्या भी 7 से विभाज्य होगी।

11 से विभाजिता का नियम

यदि सम स्थानो पर उपस्थित अंको तथा विषम स्थानो पर उपस्थित अंको का अंतर यदि 0 हो या 11 से विभाज्य हो तो संख्या 11 से विभाज्य होगी।

कौन संख्या किससे विभाज्य है?
विभाज्यता98765435875034567
2 सेविभाज्यविभाजित नहीविभाज्यविभाजित नही
3 सेविभाजितविभाजित नहीविभाजित नहीविभाजित नही
5 सेविभाजित नहीविभाज्यविभाज्यविभाजित नही
7 सेविभाजित नहीविभाजित नहीविभाजितविभाजित नही
11 सेविभाजित नहीविभाजित नहीविभाजित नहीविभाजित नही
कैसे पहचाने कि दी गयी संख्या एक अभाज्य संख्या है?

माना 857 को चेक करना है की यह अभाज्य है या नही?

  1. 857 के आसपास ऐसी कौन सी संख्या है जो पूर्ण वर्ग हो।
  2. 857, 29 के वर्ग और 30 के वर्ग के बीच की संख्या है।
  3. अब 29 के पहले की अभाज्य संख्याए इतनी है – 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29
    1. क्या 857, 2 से विभाज्य है?
    2. क्या 857, 3 से विभाज्य है?
    3. क्या 857, 5 से विभाज्य है?
    4. क्या 857, 7 से विभाज्य है?
    5. क्या 857, 11 से विभाज्य है?
    6. क्या 857, 13 से विभाज्य है?
    7. क्या 857, 17 से विभाज्य है?
    8. क्या 857, 19 से विभाज्य है?
    9. क्या 857, 23 से विभाज्य है?
    10. क्या 857, 29 से विभाज्य है?
  4. यदि 857 इनमे से किसी एक से भी विभाज्य हो जाती तो यह अभाज्य संख्या नही कहलाएगी
  5. यदि 857 इनमे से किसी से भी विभाज्य नही होती है तो यह एक अभाज्य संख्या कहलाएगी।

पहाड़ा

वर्ग पहाड़ा

2×2=4
3×3=9
4×4=16
5×5=25
6×6=36
7×7=49
8×8=64
9×9=81
10×10=100
11×11=121
11×11=121
11×11=121
11×111=12
12×12=144
13×13=169
14×14=196
15×15=225
16×16=256
17×17=269
18×18=324
19×19=256
20×20=400

घन पहाड़ा

2×2×2=8
3×3×3=27
4×4×4=64
5×5×5=125
6×6×6=216
7×7×7=343
8×8×8=512
9×9×9=729
10×10×10=1000
11×11×11=1331
12×12×12=1728
13×13×13=2197
14×14×14=2744
15×15×15=3375
16×16×16=4096
17×17×17=4913
18×18×18=5832
19×19×19=6859
20×20×20=8000

दो संख्याओ के जोड़ या अंतर के वर्ग तथा घन के सूत्र
संख्याएं एवं संक्रियाएं
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संख्याएं एवं संक्रियाएं

इकाई का अंक ज्ञात करना

संख्या के गुणनफल से इकाई का अंक ज्ञात करना

234×23×26×35 के इकाई का अंक क्या होगा?

234×23×26×35 के इकाई का अंक = 4×3×6×5 के इकाई का अंक = 360 के इकाई का अंक = 0

अतः गुणनफल के इकाई का अंक = 0

संख्या की घात से इकाई का अंक ज्ञात करना
  • 70 की घात 432 में इकाई का अंक क्या होगा?
  • 32 की घात 345 में इकाई का अंक क्या होगा?
  • 23 की घात 720 में इकाई का अंक क्या होगा?
  • 34 की घात 545 में इकाई का अंक क्या होगा?
  • 45 की घात 434 में इकाई का अंक क्या होगा?
  • 56 की घात 232 में इकाई का अंक क्या होगा?
  • 67 की घात 245 में इकाई का अंक क्या होगा?
  • 78 की घात 532 में इकाई का अंक क्या होगा?
  • 89 की घात 422 में इकाई का अंक क्या होगा?
  • 98 की घात 342 में इकाई का अंक क्या होगा?

इकाई का अंक ज्ञात करने के लिए, निम्न पदों में सवाल लगाए।

घात में क्या है उस पर ध्यान नही देना है पहले आधार संख्या पर ध्यान दे।

Total Time: 1 minute

Rule 1

किसी की घात में 0 होने से वह संख्या 1 हो जाती है अतः इकाई का अंक 1 होगा।

Rule 2

यदि आधार संख्या के इकाई का अंक 0, 1, 5, 6 हो तो घात चाहे जो भी हो जैसी भी हो इकाई का अंक वही रहता है जो संख्या के आधार संख्या में है।

Rule 3

यदि आधार संख्या के इकाई का अंक 9 है तो घात विषम होने पर इकाई का अंक 9 तथा घात सम होने पर इकाई का अंक 1 होता है।

Rule 4

यदि आधार संख्या के इकाई का अंक 2, 3, 4, 7, 8 है तो घात को 4 से भाग करने पर शेषफल निम्न तरीक़े से ज्ञात करते है। उसमें निम्न सारणी का उपयोग होता है।

2 की घात 4 का मान = 16इकाई का अंक 6
3 की घात 4 का मान = 81इकाई का अंक 1
4 की घात 4 का मान = 256इकाई का अंक 6
7 की घात 4 का मान = 2401इकाई का अंक 1
8 की घात 4 का मान = 4096इकाई का अंक 6
उदाहरण 1
संख्याएं एवं संक्रियाएं

2 की घात 4 के इकाई के अंक का मान 6 होता है और 2 की घात 3 का मान 8 होता है।
तब इकाई का अंक = 6 × 8= 48 जिसका इकाई का अंक 8 है। अतः दिए गए सवाल के इकाई का अंक 8 होगा।

उदाहरण 2
संख्याएं एवं संक्रियाएं

3 की घात 4 के इकाई के अंक का मान 1 होता है और 3 की घात 3 का मान 9 होता है।
तब इकाई का अंक = 1 × 27= 27 जिसका इकाई का अंक 7 है। अतः दिए गए सवाल के इकाई का अंक 7 होगा।

Total Question 30
Maximum Time 30 Minute
Passing Question 24

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